Recordaréis de las clases de álgebra que a menudo es útil representar un vector (o función o señal) arbitrario f como la combinación lineal de una colección de vectores a la que llamamos “ejes”, “base” o “sistema de coordenadas”. Es decir,

Las coordenadas a veces reciben nombre propios, como por ejemplo “coeficientes de Taylor” cuando o “coeficentes de Fourier” si . Una forma de calcular tales coordenadas es hacer , y claro, los casos en los que los ejes son perpendiculares  (como lo es el de Fourier) son especialmente interesantes porque y calcular sus coordenadas se vuleve tan sencillo como hacer productos escalares (agrúpense bajo una multiplicación con una matrix de rotación). Por razones análogas el producto escalar de dos vectores representados en una base semejante se convierte en una simple serie de multiplicaciones y sumas de coordenadas, muy útil para cálculos de iluminación realista por ordenador (de ahí el uso de esféricos armónicos).

Además en muchos casos reales uno puede prescindir de los vectores de mayor grado n sin afectar demasiado la fidelidad de la representación de f (por eso los reproductores de MP3 funcionan) porque éstos tienen energía menor cada vez al mismo tiempo que su error se distribuye por todo el dominio de f (caso de los cosenos y cía). En cambio con los polinomios mónicos de Taylor el error crece con la distancia al origen, lo que es una pena. Sin embargo hace dos siglos el matemático francés Legendre construyó un sistema de coordenadas polinómico en el que los ejes de mayor grado contienen menor energía y que además tienen un error más homogéneo. Es decir, creó una alternativa no trigonométrica a Fourier!

Si alguien quiere reconstruir tal sistema lo más sencillo es tomar los ejes de Taylor y empezar a rotarlos/proyectarlos hasta hacerlos perpendiculares entre sí y después normalizarlos para que midan 1 (a lo Gram-Schmidt). El resultado son los polinomios de Legendre:

etc, que como se ve son funciones cuya frecuencia aumenta con el grado. ¿He aquí un nuevo juguete con el que comprimir movimientos de cámara y siluetas?