Oh, speaking of maths (in the last post), here my last baby, which took me two days to find. I’m pretty proud of it: Ah, y hablando de mates, aquí va mi último descubrimiento, que me llevó dos días parir, y del que estoy muy orgulloso:

The integral runs from 0 to 2π, and integrates the product of a cosine power a and a sine power b, with a and b positive integers. I say that the integral equals the product of the double factorial of both parameters minus one, divided by the double factorial of their sum, times 2π. If any of the parameters a or b is an odd number, then the integral equals zero.

I can’t really prove it, so I guess it’s just a conjecture so far (conjecture understood as in maths, of course). You are welcome to try to find a demonstration for it… If you know any mathematician, please invite him to solve the demo for me.

Note: double factorial a!! means a·(a-2)·(a-4)·(a-6)·…, with 1!! = 0!! = 1

La integral va de 0 a 2π, e integra el producto de un coseno a la potencia a y un seno a la potencia b, donde a y b son enteros positivos. Digo que el valor de tal integral es igual a 2π veces el producto de los factoriales dobles de los parámetros menos uno, dividido por el doble factorial de su suma. Si a o b son impares, la integral se anula.

En verdad no lo puedo probar, así que de momento es símplemente una conjetura (entendiendo conjetura en su sentido matemático). Estáis invitados a intentar dar con la demostración… Y si conocéis algún matemático, dadle un toque a ver si lo puede demostrar para mí.

Nota: factorial doble a!! significa a·(a-2)·(a-4)·(a-6)·…, con 1!! = 0!! = 1

7 Comments

  1. admin says:

    The clean version of the formula is:
    La versión limpita de la fórmulas es:

  2. Alber says:

    Hola Iñigo,

    hace tiempo que sigo tu blog/trastero de ideas y las encuentro muy interesates.

    Has probado de colgar el problema en http://gaussianos.com/ ?

    Saludos!

  3. admin says:

    he mandado un mail, a ver qué dicen…

  4. KneDa says:

    Interesante y entretenida relación esta que planteas. Como hoy tengo medio insomnio y me apasionan estes mateacertijos me puesto a juguetear un poquito con ella y la he intentado demostripar. Pero no se por que diabólica razón no llego a la igualdad que tu planteas pero si a una parecida. Obtengo que la solución es 4 veces (y no 2pi veces) el producto de los factoriales dobles de los parámetros menos uno, dividido por el doble factorial de su suma, en el caso de a,b pares. Para los casos en que a o b son impares la solución es trivialmente 0, por supuesto.

    Supongo que la falta de sueño me habrá eho equivocarme en algún sitio, mañana lo reviso sin falta 😀

  5. KneDa says:

    Bueno, al final he obtenido 3 demostraciones de tu conjetura :) , te mando al mail la que considero más directa y menos larga (versión .pdf y .tex). Simplemente es una aplicación directa de las funciones eulerianas beta y gamma y alguna propiedad de los factoriales dobles, no tiene ningún misterio. Por cierto, ¿es un secreto o es posible saber aunque sea por encima como llegaste a tan bonita igualdad?

    Pd: Me encantan este tipo de mateacertijos xDD

  6. KneDa says:

    Pd2: En la demostración que te mandé se me coló una errata, en la propiedad 1 que pongo de la función gamma puse que gamma(n)=(n-1)!!, eso es falso, se me coló un factorial de más, la propiedad correcta, q supongo q ya conoces de sobra es gamma(n)=(n-1)! para todo n entero positivo.

    Si optas por desarrollar las funciones gamma resultantes de la integral aplicando esta propiedad ten en cuenta que por ejemplo no la podrás aplicar cuando gamma((a+1)/2) siendo a par, pues el valor sería un semientero positivo… La primera demostración que intenté aquella noche de insomnio no era un resultado válido, pero no porque los cálculos fuesen “mal”… sino porque había obviado esta condición necesaria 😀

  7. admin says:

    aún no he mirado el mail (hotmail parece estar down o algo).

    Llegué a la fórmula por pseudodemostración.

    A] Primero el caso b=0, que es sencillo, y da Qa,0= 2PI(a-1)!!/a!!

    B] Luego, usando la indentidad cos^2(a) = (1- cos(2a))/2 y sin^2(a) = (1+ cos(2a))/2 demostré la propiedad “de las diagonales” : Q(a,b) = Q(a+1,b) + Q(a,b+1)

    C] con ayuda de B, basándome en A, saqué las fórmulas para b=1 y b=2. Después, símplemente extrapolé. Es esta extrapolación la que no conseguí completar y formalizar así la demostración completa.

    La fórmula la necesitaba para un algoritmo de iluminación, y la fórmula me tuvo entretenido un fin de semana entero.

    A ver si hotmail revive y miro tu demostración.

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